БЕСПЛАТНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Универсальная тригонометрическая подстановка

Для решения некоторых типов тригонометрических уравнений применяют универсальную тригонометрическую подстановку, выражая тригонометрические функции через тангенс. Но при этом часто забывают, что применять подстановку можно только в том случае, если \(x\not=\pi +2\pi n\). Для того, чтобы при применении универсальной тригонометрической подстановки не возникло проблем, перед ее применением следует в исходное уравнение подставить \(x\not=\pi +2\pi n\), чтобы проверить не являются ли эти значения решениями заданного уравнения.

Пример. Решить уравнение: \(3sin\left(x \right)+4cos\left(x \right)=5\)

Решение. Воспользуемся тригонометрической подстановкой: $$cos\left(x \right)=\frac{1-tg^2\left(\frac{x}{2} \right)}{1+tg^2\left(\frac{x}{2} \right)},sin\left(x \right)=\frac{2tg\left(\frac{x}{2} \right)}{1+tg^2\left(\frac{x}{2} \right)}.$$ При этом обозначим: $$u=tg\left(\frac{x}{2} \right)$$ Подставляя выражения для универсальной тригонометрической подстановки с учетом обозначения в исходное уравнение получим рациональное уравнение: $$3\cdot \frac{2u}{1+u^2}+4\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=5$$ Переносим все в левую часть, приводим к общему знаменателю и приравниваем числитель к нулю. Решив полученное уравнение получаем: $$u=\frac{1}{3}\Rightarrow tg\left(\frac{x}{2} \right)=\frac{1}{3}$$ Решая последнее равенство, получаем: $$x=2arctg\frac{1}{3}+2\pi n, n\in Z.$$ Проверка показывает, что \(x=\pi +2\pi n\) не является решением исходного уравнения, поэтому окончательный ответ: $$x=2arctg\frac{1}{3}+2\pi n, n\in Z.$$

Оставить комментарий

Вы должны быть авторизованы , чтобы оставить или оценить комментарий.

Онлайн всего: 9
Гостей: 9
Пользователей: 0

STUDLAB Сообщить про опечатку на сайте