Объем тела методом Монте-Карло в С++
В прикладных расчетах методы Монте-Карло применяются достаточно часто. Причем нередко соответствующие методы исследования являются
единственно возможными. В данном случае не будем останавливаться на особенностях методов Монте-Карло, ограничимся лишь некоторыми
практическими рецептами их использования, в частности, при вычислении объемов (площадей) тел. Предположим, необходимо вычислить объем тела (области пространства), форма которой достаточно сложна для того, чтобы это сделать аналитически. В этом случае тело, объем которого нужно вычислить, условно и целиком помещается внутрь другого тела, объем которого известен или легко вычисляется - например, квадрат или сферу. Далее случайным образом
внутри этого внешнего тела выбираются точки и вычисляется отношение' точек, которые попали внутрь меньшего тела (объем которого вычисляется) к общему числу точек. Если общее число точек стремится к бесконечности, то указанное отношение стремится к отношению объемов внутреннего и внешнего тел. На практике вместо случайного выбора точек используют сетку из равномерно распределенных точек. В этом случае говорят о квази-методах Монте-Карло. В примере ниже вычисляется объем усеченного конуса, накрытого полусферой. Объем такого тела вычисляется по формуле:
$$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H+\frac{2}{3}\pi R^{3}$$
где R-радиус, а H-высота усеченного конуса.
#include#include using namespace std; int main(){ //Число pi: const double pi=3.1415; //Рабочие переменные программы: double R,H,V,V0,x,y,z; //Число точек N (по каждой из координат) //и число внутренних точек n: int N=1500,n=0; //Ввод параметров R и H: cout << "Enter R = "; cin >> R; cout << "Enter H = "; cin >> H; //Объем параллелепипеда: V0=4*R*R*(H+R); //Перебор всех точек: for(int i=0;i <= N;i++){ x=2*i*R/N-R; for(int j=0;j <= N;j++){ y=2*j*R/N-R; for(int k=0;k <= N;k++){ z=k*(H+R)/N; //Подсчет внутренних точек: if(((sqrt(x*x+y*y)/R <= z/H)&&(z <= H))||((x*x+y*y+(z-H) *(z-H) <= R*R)&&(z > H))) n++; } } } //Объем тела: V=V0*n/pow(N+1,3); //Вывод вычисленного и точного значений: cout << "V = " << V << " : " << pi*R*R*H/3+2*pi*pow(R,3)/3 << endl; return 0; }
