Экстремумы функции
Рассмотрены примеры нахождения интервалов возрастания и убывания функций, исследования на экстремум.
Задача 1
Даны точки \( x= 3, x=1, x=-1, x=0,5.\) В каких из перечисленных точек функция \(y=x^3-3x^2\) возрастает? Убывает?
Решение 1
Найдем производную \(y'=3x^2-6x.\) Имеем:
если \(x=3,\) то \(y'=9>0\) – функция возрастает;
если \(x=1,\) то \(y'=-3<0\) – функция убывает;
если \(x=-1,\) то \(y'=9>0\) – функция возрастает;
если \(x=0,5,\) то \(y'=-2,25<0\) – функция убывает.
Задача 2
Найти интервалы возрастания и убивания функции \(y=x(1+\sqrt{x}).\)
Решение 2
Находим \(y'=1+(3/2)x^{1/2}.\) Так как производная положительная в промежутке \([0, + \infty[,\) то функция возрастает во всей область определения.
Задача 3
Найти интервалы возрастания и убывания функции \(y=x-2 \sin x,\) если \(0\leq x\leq 2\pi.\)
Решение 3
Найдем производную: \(y' = 1-2 \cos x. \) Очевидно, что \(y'>0\) в интервале \(]\pi/3, 5\pi /3[\) и \(y'<0\) в интервалах \(]0, \pi /3[\) и \(]5\pi/3, 2\pi [.\) Таким образом, в интервале \(]\pi/3, 5\pi /3[\) данная функция возрастает, а в интервалах \(]0, \pi /3[\) и \(]5\pi/3, 2\pi [\) – убывает.
Задача 4
Исследовать на экстремум функцию \(y=(x-5) e^x.\)
Решение 4
Находим производную: \(y' = (x-4)e^x. \) Приравниваем ее нулю и находим:
\(e^x(x-4)=0, x=4; y' (4-h)=-he^{4-h}<0, y’(4+h)=he^{4+h}>0.\) В точке \(x=4\) функция имеет минимум \(y_{min}=-e^4.\)
Задача 1
Даны точки \( x= 3, x=1, x=-1, x=0,5.\) В каких из перечисленных точек функция \(y=x^3-3x^2\) возрастает? Убывает?
Решение 1
Найдем производную \(y'=3x^2-6x.\) Имеем:
если \(x=3,\) то \(y'=9>0\) – функция возрастает;
если \(x=1,\) то \(y'=-3<0\) – функция убывает;
если \(x=-1,\) то \(y'=9>0\) – функция возрастает;
если \(x=0,5,\) то \(y'=-2,25<0\) – функция убывает.
Задача 2
Найти интервалы возрастания и убивания функции \(y=x(1+\sqrt{x}).\)
Решение 2
Находим \(y'=1+(3/2)x^{1/2}.\) Так как производная положительная в промежутке \([0, + \infty[,\) то функция возрастает во всей область определения.
Задача 3
Найти интервалы возрастания и убывания функции \(y=x-2 \sin x,\) если \(0\leq x\leq 2\pi.\)
Решение 3
Найдем производную: \(y' = 1-2 \cos x. \) Очевидно, что \(y'>0\) в интервале \(]\pi/3, 5\pi /3[\) и \(y'<0\) в интервалах \(]0, \pi /3[\) и \(]5\pi/3, 2\pi [.\) Таким образом, в интервале \(]\pi/3, 5\pi /3[\) данная функция возрастает, а в интервалах \(]0, \pi /3[\) и \(]5\pi/3, 2\pi [\) – убывает.
Задача 4
Исследовать на экстремум функцию \(y=(x-5) e^x.\)
Решение 4
Находим производную: \(y' = (x-4)e^x. \) Приравниваем ее нулю и находим:
\(e^x(x-4)=0, x=4; y' (4-h)=-he^{4-h}<0, y’(4+h)=he^{4+h}>0.\) В точке \(x=4\) функция имеет минимум \(y_{min}=-e^4.\)
