Уравнения прямой
Уравнение одной и той же прямой в разных формах может быть представлено по разному. Для решения задач надо уметь переходить от однойй форму к другой или просто уметь составлять уравнения в разных формах. Здесь приведены наиболее распространенные случаи : уравнение с угловым коэффициентом, уравнение в отрезках, нормальное уравнение на основе общего уравнения прямой.
Задача
Дано общее уравнение прямой \(12x−5y−65=0\).
Написать:
1) уравнение с угловым коэффициентом;
2) уравнение в отрезках;
3) нормальное уравнение.
Решение
1) Разрешив уравнение относительно \(y\), получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: $$y= \frac{12}{5}x-13$$ Здесь \(k=\frac{12}{5},b=-13.\)
2) Перенесем свободный член общего уравнения в правую часть и разделим обе части на 65; имеем \(\frac{12}{65}x-\frac{5}{65}y=1.\) Переписав последнее уравнение в виде
$$\frac{x}{65/12}=\frac{y}{(-65/5)}=1$$
получим уравнение данной прямой в отрезках. Здесь \(a=65/12, b=-65/5=-13.\)
3) Находим нормирующий множитель \(\mu=1/ \sqrt{12^2+(-5)^2}=1/13.\) Умножив обе части общего уравнения на этот множитель, получаем нормальное уравнение прямой $$\frac{12}{13}x-\frac{5}{13}y-5=0$$ Здесь \( \cos \phi=\frac{12}{13}, \sin \phi=-5/13, p=5.\)
Задача
Дано общее уравнение прямой \(12x−5y−65=0\).
Написать:
1) уравнение с угловым коэффициентом;
2) уравнение в отрезках;
3) нормальное уравнение.
Решение
1) Разрешив уравнение относительно \(y\), получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: $$y= \frac{12}{5}x-13$$ Здесь \(k=\frac{12}{5},b=-13.\)
2) Перенесем свободный член общего уравнения в правую часть и разделим обе части на 65; имеем \(\frac{12}{65}x-\frac{5}{65}y=1.\) Переписав последнее уравнение в виде
$$\frac{x}{65/12}=\frac{y}{(-65/5)}=1$$
получим уравнение данной прямой в отрезках. Здесь \(a=65/12, b=-65/5=-13.\)
3) Находим нормирующий множитель \(\mu=1/ \sqrt{12^2+(-5)^2}=1/13.\) Умножив обе части общего уравнения на этот множитель, получаем нормальное уравнение прямой $$\frac{12}{13}x-\frac{5}{13}y-5=0$$ Здесь \( \cos \phi=\frac{12}{13}, \sin \phi=-5/13, p=5.\)
