Угол между прямыми
Рассмотрены примеры нахождения угла между прямыми, проверка параллельности и перпендикулярности прямых.
Задача 1
Определить острый угол между прямыми \(y=-3x+7\) и \(y=2x+1\).
Решение 1
Полагая \(k_{1}=-3, k_{2}=2\) в формуле \(\tan\alpha =\left|\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}} \right|\), получим
Задача 2
Показать, что прямые \(4x-6y+7=0\) и \(20x-30y-11=0\) параллельны.
Решение 2
Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем \(y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{6}\) и \(y=\frac{2}{3}x-\frac{11}{30}\). Угловые коэффициенты этих прямых равны: \(k_{1}=k_{2}=\frac{2}{3}\), т. е. прямые параллельны.
Задача 3
Показать, что прямые \(3x-5y+7=0\) и \(10x+6y-3=0\) перпендикулярны.
Решение 3
После приведения уравнений к виду с угловым коэффициентом, получаем
Задача 1
Определить острый угол между прямыми \(y=-3x+7\) и \(y=2x+1\).
Решение 1
Полагая \(k_{1}=-3, k_{2}=2\) в формуле \(\tan\alpha =\left|\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}} \right|\), получим
\(\tan\phi =\left|\frac{2-(-3)}{1-(-3)\cdot2} \right|=1\), т. е. \(\phi=\frac{\pi }{4}\).
Задача 2
Показать, что прямые \(4x-6y+7=0\) и \(20x-30y-11=0\) параллельны.
Решение 2
Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем \(y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{6}\) и \(y=\frac{2}{3}x-\frac{11}{30}\). Угловые коэффициенты этих прямых равны: \(k_{1}=k_{2}=\frac{2}{3}\), т. е. прямые параллельны.
Задача 3
Показать, что прямые \(3x-5y+7=0\) и \(10x+6y-3=0\) перпендикулярны.
Решение 3
После приведения уравнений к виду с угловым коэффициентом, получаем
\(y=\frac{3}{5}x+\frac{7}{5}\) и \(y=-\frac{5}{3}x+\frac{1}{2}\).
Здесь \(k_{1}=\frac{3}{5}\), \(k_{2}=-\frac{5}{3}\). Так как \(k_{1}=-\frac{1}{k_{2}}\), то прямые перпендикулярны.