Точка пересечения прямых

Рассмотрен пример составления уравнения прямой через точки, а также задача нахождения координат точки пересечения прямых на плоскости.

Задача 1

Составить уравнение прямой, проходящей через точки \(M(-1;3)\) и \(N(2;5)\).

Решение 1

Полагая \(x_{1}=-1, y_{1}=3, x_{2}=2, y_{2}=5\) в уравнении \(\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\), получаем \(\frac{y-3}{5-3}=\frac{x+1}{2+1}\), или \(\frac{y-3}{2}=\frac{x+1}{3}\). Итак, искомое уравнение прямой имеет вид \(2x-3y+11=0\). Полезно проверить, что уравнение составлено верно. Для этого достаточно показать, что координаты точек \(M\) и \(N\) удовлетворяют уравнению прямой. Действительно, равенства \(2(-1)-3\cdot3+11=0\), \(2\cdot2-3\cdot5+11=0\) выполняются тождественно.

---

Задача 2

Показать, что прямые \(3x-2y+1=0\) и \(2x+5y-12=0\) пересекаются, и найти координаты точки пересечения.

Решение 2

Так как \(\frac{3}{2}\neq \frac{-2}{5}\), то прямые пересекаются. Решив систему уравнений $$ \cases { 3x-2y+1=0, \cr 2x+5y-12=0, } $$ Находим \(x=1, y=2,\) т.е. прямые пересекаются в точке \((1; 2)\).

---

Задача 3

Составить уравнение прямой, проходящей через точку \(M(-2;-5)\) и параллельной прямой \(3x+4y+2=0\).

Решение 3

Разрешив последнее уравнение относительно \(y\), получим \(y=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}\). Следовательно, в силу условия параллельности угловой коэффициент искомой прямой равен \(-\frac{3}{4}\). Воспользовавшись уравнением \(y-y_{1}=k(x-x_{1})\), получаем $$y-(-5)=(-3/4)(x-(-2)), $$ т.е. $$3x+4y+26=0.$$