Векторы. Угол между векторами

Приведены примеры на вычисление скалярного и векторного произведения векторов и нахождение угла между векторами.

Задача 1

Найти скалярное произведение векторов \(a=3i+4j+7k\) и \(b=2i-5j+2k\).

Решение 1

Находим \(a\cdot b=3\cdot 2+4\cdot(-5)+7\cdot 2=0\). Так как \(a\cdot b=0\) и \(a\neq 0\), \(b\neq 0\), то \(a \perp b\).

---

Задача 2

Определить угол между векторами \(a=i+2j+3k\) и \(b=6i+4j-2k\).

Решение 2

Так как \(a \cdot b = ab \cos \phi \) то \( \cos \phi = \frac{a \cdot b}{ab}\). Поэтому имеем
\(a \cdot b=1 \cdot 6+2 \cdot 4+3(-2)=8\), \(a=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\),
\(b=\sqrt{36+16+4}=2\sqrt{14}\).
Следовательно, \(\cos \phi = \frac{8}{\sqrt{14}\cdot 2\sqrt{14}}=\frac{2}{7}\) и \(\phi = \arccos\frac{2}{7}\).

---

Задача 3

Найти векторное произведение вектров \(a=2i+3j+5k\) и \(b=i+2j+k\).

Решение 3

Имеем $$ a\times b = \left| \matrix { i & j & k\\ 2 & 3 & 5\\ 1 & 2 & 1 } \right| =i \left| \matrix { 3 & 5 \\ 2 & 1 } \right| -j \left| \matrix { 2 & 5 \\ 1 & 1 } \right| +k \left| \matrix { 2 & 3 \\ 1 & 3 } \right| , $$ т.е. \(a\times b = -7i+3j+k\)

---

Задача 4

Найти смешанное произведение векторов \(a=2i-j-k\), \(b=i+3j-k\), \(c=i+j+4k\).

Решение 4

$$ abc= \left| \matrix { 2 & -1 & -1\\ 1 & 3 & -1\\ 1 & 1 & 4 } \right| =2 \left| \matrix { 3 & -1 \\ 1 & 4 } \right| +1 \left| \matrix { 1 & -1 \\ 1 & 4 } \right| -1 \left| \matrix { 1 & 3 \\ 1 & 1 } \right| =26+5+2=33. $$