Формулы комбинаторики
Комбинаторика изучает cпособы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики, используют при непосредственном вычислении вероятностей.
Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются nерестановками этих элементов. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают через \(P_n\); то число равно \(n!\) (читается ЭН-факториал):
$$P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$$ 3амечание. Для пустого множества принимается соглашение: пустое множество можно упорядочить только одним способом; по определению считают, что \(0!=1\).
Размещениями называют множества, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой
$$A_{n}^{m}=\frac{n!}{\left(n-m \right)!}=n\cdot \left(n-1 \right)\cdot \left(n-2 \right)\cdot ...\cdot \left(n-m+1 \right)$$ Сочетаниями из n различных элементов по m называются множества, содержащие т элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m обозначают: \(C_{n}^{m}\). Это число выражается формулой:
$$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m! \left(n-m \right)! }$$ 3амечание. По определению полагают \(C_{n}^{0}=1\).
Число всех подмножеств множества, состоящего их n элементов, равно \(2^{n}\).
Число перестановок, размещений и сочетаний связаны равенством:
$$C^{m}_{n}\cdot P_{m}= A^{m}_{n}$$ 3амечание. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае множества с повторениями вычисляют по спецальным формулам c повторениями.
При рещении задач комбинаторики используют следующие правила.
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно \(m+n\) способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана \(m \cdot n\) способами.
Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются nерестановками этих элементов. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают через \(P_n\); то число равно \(n!\) (читается ЭН-факториал):
$$P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$$ 3амечание. Для пустого множества принимается соглашение: пустое множество можно упорядочить только одним способом; по определению считают, что \(0!=1\).
Размещениями называют множества, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой
$$A_{n}^{m}=\frac{n!}{\left(n-m \right)!}=n\cdot \left(n-1 \right)\cdot \left(n-2 \right)\cdot ...\cdot \left(n-m+1 \right)$$ Сочетаниями из n различных элементов по m называются множества, содержащие т элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m обозначают: \(C_{n}^{m}\). Это число выражается формулой:
$$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m! \left(n-m \right)! }$$ 3амечание. По определению полагают \(C_{n}^{0}=1\).
Число всех подмножеств множества, состоящего их n элементов, равно \(2^{n}\).
Число перестановок, размещений и сочетаний связаны равенством:
$$C^{m}_{n}\cdot P_{m}= A^{m}_{n}$$ 3амечание. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае множества с повторениями вычисляют по спецальным формулам c повторениями.
При рещении задач комбинаторики используют следующие правила.
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно \(m+n\) способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана \(m \cdot n\) способами.
