Комбинаторные задачи
Приведем несколько стандартных примеров на вычисление вероятности события с использованием формул комбинаторики и подробным обьяснением решения.
Пример. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?
Решение. Воспользуемся формулой для числа размещений так как важен порядок выбора - должности будут разные:
$$A_{n}^{m}=n\cdot (n-1) \cdot ..\cdot (n-m+1)$$
Всего кандидатов 10, поэтому n=10, а выбрать надо троих, поэтому m=3. Поэтому по формуле получим:
$$A_{10}^{3}=10\cdot 9 \cdot 8 = 720$$
Ответ. 720.
Пример. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?
Решение. Количество мест совпадает с числом людей, поэтому применим формулу для числа перестановок.
$$P_{n}=n!$$
Так как число мест n=5, то по формуле находим:
$$P_{5}=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$$
Ответ. 120.
Пример. Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?
Решение. Так как порядок выбранных не важен (должности одинаковые), то применяем формулу числа сочетаний:
$$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!\left(n-m \right)!}$$
Из десяти человек n=10 надо выбрать m=3 претендентов. Получим:
$$C_{10}^{3}=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=120$$
Ответ. 120.
Пример. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?
Решение. Воспользуемся формулой для числа размещений так как важен порядок выбора - должности будут разные:
Пример. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?
Решение. Количество мест совпадает с числом людей, поэтому применим формулу для числа перестановок.
Пример. Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?
Решение. Так как порядок выбранных не важен (должности одинаковые), то применяем формулу числа сочетаний:
