Методы решения тригонометрических уравнений
Одни из методов решения тригонометрических уравнений - деление с целью преобразования уравнения к одной неизвестной тригонометрической функции. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить уравнение \(8sin\left(x \right)-7cos\left(x \right)=0\)
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на \(cos\left(x \right)\) и получим \(8\cdot tg\left(x \right)-7=0\). Далее имеем: $$tg\left(x \right)=\frac{7}{8}$$ Решая это уравнение получаем решение: $$x=arctg\left(\frac{7}{8} \right)+\pi n, n\in Z.$$ Пример 2. Решить уравнение $$sin^2\left(x \right)+2sin\left(x \right)cos\left(x \right)-3cos^2\left(x \right)=0$$ Решение. Разделим обе части этого однородного уравнения на \(cos^2\left(x \right)\) и получим после деления: $$tg^2\left(x \right)+2tg\left(x \right)-3=0$$ Далее положим \(u=tg\left(x \right)\), тогда приходим к квадратному уравнению: $$u^2+2u-3=0$$ Решая уравнение получим его корни: $$u_{1}=-3,u_{2}=1.$$ Решив совокупность уравнений: \(tg\left(x \right)=-3, tg\left(x \right)=1\) получим $$x=arctg\left(-3 \right)+\pi n;x=\frac{\pi }{4}+\pi n, k\in Z,n\in Z.$$
Пример 1. Решить уравнение \(8sin\left(x \right)-7cos\left(x \right)=0\)
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на \(cos\left(x \right)\) и получим \(8\cdot tg\left(x \right)-7=0\). Далее имеем: $$tg\left(x \right)=\frac{7}{8}$$ Решая это уравнение получаем решение: $$x=arctg\left(\frac{7}{8} \right)+\pi n, n\in Z.$$ Пример 2. Решить уравнение $$sin^2\left(x \right)+2sin\left(x \right)cos\left(x \right)-3cos^2\left(x \right)=0$$ Решение. Разделим обе части этого однородного уравнения на \(cos^2\left(x \right)\) и получим после деления: $$tg^2\left(x \right)+2tg\left(x \right)-3=0$$ Далее положим \(u=tg\left(x \right)\), тогда приходим к квадратному уравнению: $$u^2+2u-3=0$$ Решая уравнение получим его корни: $$u_{1}=-3,u_{2}=1.$$ Решив совокупность уравнений: \(tg\left(x \right)=-3, tg\left(x \right)=1\) получим $$x=arctg\left(-3 \right)+\pi n;x=\frac{\pi }{4}+\pi n, k\in Z,n\in Z.$$
