Универсальная тригонометрическая подстановка
Для решения некоторых типов тригонометрических уравнений применяют универсальную тригонометрическую подстановку, выражая тригонометрические функции через тангенс. Но при этом часто забывают, что применять подстановку можно только в том случае, если \(x\not=\pi +2\pi n\). Для того, чтобы при применении универсальной тригонометрической подстановки не возникло проблем, перед ее применением следует в исходное уравнение подставить \(x\not=\pi +2\pi n\), чтобы проверить не являются ли эти значения решениями заданного уравнения.
Пример. Решить уравнение: \(3sin\left(x \right)+4cos\left(x \right)=5\)
Решение. Воспользуемся тригонометрической подстановкой: $$cos\left(x \right)=\frac{1-tg^2\left(\frac{x}{2} \right)}{1+tg^2\left(\frac{x}{2} \right)},sin\left(x \right)=\frac{2tg\left(\frac{x}{2} \right)}{1+tg^2\left(\frac{x}{2} \right)}.$$ При этом обозначим: $$u=tg\left(\frac{x}{2} \right)$$ Подставляя выражения для универсальной тригонометрической подстановки с учетом обозначения в исходное уравнение получим рациональное уравнение: $$3\cdot \frac{2u}{1+u^2}+4\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=5$$ Переносим все в левую часть, приводим к общему знаменателю и приравниваем числитель к нулю. Решив полученное уравнение получаем: $$u=\frac{1}{3}\Rightarrow tg\left(\frac{x}{2} \right)=\frac{1}{3}$$ Решая последнее равенство, получаем: $$x=2arctg\frac{1}{3}+2\pi n, n\in Z.$$ Проверка показывает, что \(x=\pi +2\pi n\) не является решением исходного уравнения, поэтому окончательный ответ: $$x=2arctg\frac{1}{3}+2\pi n, n\in Z.$$
Пример. Решить уравнение: \(3sin\left(x \right)+4cos\left(x \right)=5\)
Решение. Воспользуемся тригонометрической подстановкой: $$cos\left(x \right)=\frac{1-tg^2\left(\frac{x}{2} \right)}{1+tg^2\left(\frac{x}{2} \right)},sin\left(x \right)=\frac{2tg\left(\frac{x}{2} \right)}{1+tg^2\left(\frac{x}{2} \right)}.$$ При этом обозначим: $$u=tg\left(\frac{x}{2} \right)$$ Подставляя выражения для универсальной тригонометрической подстановки с учетом обозначения в исходное уравнение получим рациональное уравнение: $$3\cdot \frac{2u}{1+u^2}+4\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=5$$ Переносим все в левую часть, приводим к общему знаменателю и приравниваем числитель к нулю. Решив полученное уравнение получаем: $$u=\frac{1}{3}\Rightarrow tg\left(\frac{x}{2} \right)=\frac{1}{3}$$ Решая последнее равенство, получаем: $$x=2arctg\frac{1}{3}+2\pi n, n\in Z.$$ Проверка показывает, что \(x=\pi +2\pi n\) не является решением исходного уравнения, поэтому окончательный ответ: $$x=2arctg\frac{1}{3}+2\pi n, n\in Z.$$
