Решение тригонометрического уравнения
Пример. Решить уравнение:
$$sin\left(5x \right)+sin\left(x \right)+2sin^{2}\left(x \right)=1$$
Решение.
Перенесем единицу в левую часть и, выполнив преобразования левой части, разложим ее на множители. Применим для \(sin\left(5x \right)+sin\left(x \right)\) формулу для суммы синусов и воспользуемся тем, что \(2sin^{2}\left(x \right)=1-cos\left(2x \right)\). Тогда уравнение примет вид:
$$2sin\left(3x \right)cos\left(2x \right)+\left(1-cos\left(2x \right) \right)-1=0$$
а после преобразований:
$$cos\left(2x \right)\left(2sin\left(3x \right)-1 \right)=0$$
Теперь задача свелась к решению совокупности двух уравнений:
$$\cases {
cos\left(2x \right)=0\cr
2sin\left(3x \right)-1=0
}$$
Из уравнения \(cos\left(2x \right)=0\) находим:
$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z.$$
Из уравнения \(2sin\left(3x \right)-1=0\) находим:
$$x=\left(-1 \right)^k\frac{\pi }{18}+\frac{\pi k}{3},k\in Z.$$
Следовательно, решение уравнения:
$$\cases {
x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z,
\cr
x=\left(-1 \right)^k\frac{\pi }{18}+\frac{\pi k}{3},k\in Z.
}$$
