Примеры решения тригонометрических уравнений
Пример 1. Решить уравнение $$sin\left(x \right)=\frac{1}{2}$$
Решение. Для решения воспользуемся формулой: $$x=\left(-1 \right)^n arcsin\left(\frac{1}{2} \right)+\pi n, n\in Z$$ Так как $$arcsin\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{\pi }{6}$$ то получим окончательно: $$x=\left(-1 \right)^n\ \frac{\pi }{6}+\pi n, n\in Z$$
Пример 2. Решить уравнение $$cos3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Решение. Для решения воспользуемся формулой: $$x=\pm arccos\left(a \right)+2\pi n, n\in Z$$ Получим: $$3x=\pm arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)+2\pi n, n\in Z$$ Так как $$arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$$ Окончательно получаем: $$x=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{2\pi n}{3},n\in Z$$
Решение. Для решения воспользуемся формулой: $$x=\left(-1 \right)^n arcsin\left(\frac{1}{2} \right)+\pi n, n\in Z$$ Так как $$arcsin\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{\pi }{6}$$ то получим окончательно: $$x=\left(-1 \right)^n\ \frac{\pi }{6}+\pi n, n\in Z$$
Пример 2. Решить уравнение $$cos3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Решение. Для решения воспользуемся формулой: $$x=\pm arccos\left(a \right)+2\pi n, n\in Z$$ Получим: $$3x=\pm arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)+2\pi n, n\in Z$$ Так как $$arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$$ Окончательно получаем: $$x=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{2\pi n}{3},n\in Z$$
