БЕСПЛАТНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба

Рассмотрены примеры нахождения промежутков выпуклости и вогнутости, точки перегиба функций.

Задача 1

Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции \(y=x^5 +5x-6.\)

Решение 1

Имеем \(y'=5x^4+5, y''=20x^3.\) Если \(x<0, \) то \(y''<0\) и кривая выпукла;
если же \(x>0,\) то \(y''>0\) и кривая вогнута. Итак, кривая выпукла в промежутке \(] -\infty, 0[ \) и вогнута в промежутке \(]0, +\infty[. \)


Задача 2

Найти экстремумы функции \(y=(x+1)^2(x-2)\) и точки перегиба ее графика.

Решение 2

Найдем первую производную: \(y'=3(x^2-1).\) Корни первой производной: \(x_1=-1, x_2=1.\) Найдем вторую производную: \(y''=6x.\) Вычислим значения второй производной в стационарных точках: \(y''(-1)=-6<0, \) т.е. \(y_{max}=0; y''(1)=6> 0,\) т.е. \(y_{min}=-4.\)
Найдем точку перегиба, для чего вторую производную приравниваем нулю: \(6x=0, \) т.е. \(x=0.\) Слева от точки \(x=0\) имеем \(y''(0+h)<0\) – кривая вогнута; следовательно, точка с абсциссой \(x=0\) является точкой перегиба; \(y_{т.пер}=-2.\)


Задача 3

Найти точки перегиба кривой \(y=(x-5)^{5/3}+2.\)

Решение 3

Находим \(y'=\frac{5}{3}(x-5)^{2/3}, y''=\frac{10}{9\sqrt[3]{x-5}}.\) Вторая производная не обращается в нуль не при каких значениях \(x\) и не существует в точке \(x=5.\) Значение \(x=5\) является абсциссой точки перегиба, так как \( y''=(5-h)<0, y''(5+h)>0.\) Таким образом, \((5;2)\) – точка перегиба.

Комментарии      1 2 3 »


    0
    алеся: необходимо найти значение векторов U*W+2V*(U--W)+V^2--5W^2
    Ответ: Условие не понятно, да и не по теме этой страницы. Пишите на форуме.
    0
    алеся: необходимо найти точки перегиба y= x^4+8/x^3+1
    Ответ: x=-1.3459 или x=-2^(3/7)
    0
    Поля: необходимо условие существования точки перегиба,найти точки перегиба. y=x^3-x^4
    Ответ: Точка перегиба x=0.

Оставить комментарий

Вы должны быть авторизованы , чтобы оставить или оценить комментарий.

Онлайн всего: 9
Гостей: 9
Пользователей: 0

STUDLAB Сообщить про опечатку на сайте