Метод Ньютона-Рафсона в С++
Для решения алгебраических уравнений используем метод Ньютона (его еще называют итерационным методом Ньютона-Рафсона). Предположим, необходимо найти корень уравнения \(f\left(x \right)=0\) в окрестности точки \(x=x_{0}\). Последовательный поиск приближений для корня уравнения выполняется по следующей схеме: в точке текущего приближения для корня уравнения проводится касательная к графику функции \(f\left(x \right)\), точка пересечения этой касательной с осью абсцисс является новым приближением для корня. Такая последовательность действий сводится к рекуррентной формуле:
$$x_{n+1}=x_{n}-f\left(x_{n} \right)/f'\left(x_{n} \right)$$
Здесь расмотрим случай, когда исходная функция представляет собой полином. На входе задаются только коэффициенты этого полинома, набор которых можно представить в виде элементов массива.
$$f\left(x \right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+...$$
Кроме того пользователем вводится и начальное приближение корня. Это означат, что надо иметь представление о том, где приблизительно находится корень. Другими словами его надо отделить некоторым интервалом.
#include#include using namespace std; int main(){ //Порядок полинома: const int N=3; //Индексные переменные и число итераций: int i,k,n=10; //Аргумент, функция и производная: double x,f,df; //Массив коэффициентов полинома-функции: double a[N+1]; //Массив коэффициентов полинома-производной: double b[N]; //Ввод коэффициентов функции-полинома: cout << "Function: "; cin >> a[0]; for(i=1; i < N+1 ;i++){ cin >> a[i]; //Вычисление коэффициентов для производной: b[i-1]=i*a[i]; } //Начальное приближение: cout << "Enter x0 = "; cin >> x; //Последовательные итерации: for(k=1; k <= n; k++){ f=a[0]; df=0; for(i=1; i < N+1; i++){ f+=a[i]*pow(x,i); df+=b[i-1]*pow(x,i-1); } x-=f/df; } //Результат: cout << "x = " << x << endl; cout << "f(" << x << ") = " << f << endl; return 0; }
