Раскрытие определителя
Курс высшей математики во многих вузах начинается с определителей. Предлагается несколько способов вычисления определителей. Здесь рассмотрены типичные примеры задач на определители и способы их раскрытия.
Задача 1
Вычислить определитель третьего порядка $$ \left| \matrix { 5 & 3 & 2\\ -1 & 2 & 4\\ 7 & 3 & 6 } \right| $$
Решение 1
Разложив определитель по элементам 1-й строки, получим $$ \left| \matrix { 5 & 3 & 2\\ -1 & 2 & 4\\ 7 & 3 & 6 } \right| =5 \left| \matrix { 2 & 4 \\ 3 & 6 } \right| -3 \left| \matrix { -1 & 4 \\ 7 & 6 } \right| +2 \left| \matrix { -1 & 2 \\ 7 & 3 } \right| =5\cdot0-3(-34)+2(-17)=68. $$
Задача 2
Вычислить тот же определитель на основании теоремы о линейной комбинации элементов строк (столбцов).
Решение 2
К элементам 1-й стороки прибавим соответствующие элементы 2-й строки, умноженные на 5, а к элементам 3-й строки – соответствующие элементы 2-й сторки, умноженные на 7: $$ \left| \matrix { 5 & 3 & 2\\ -1 & 2 & 4\\ 7 & 3 & 6 } \right| = \left| \matrix { 0 & 13 & 22\\ -1 & 2 & 4\\ 0 & 17 & 34 } \right| $$ Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получаем $$ \left| \matrix { 0 & 13 & 22\\ -1 & 2 & 4\\ 0 & 17 & 34 } \right| =0 \left| \matrix { 2 & 4 \\ 17 & 34 } \right| +1 \left| \matrix { 13 & 22 \\ 17 & 34 } \right| +0 \left| \matrix { 13 & 22 \\ 2 & 4 } \right| =13\cdot34-17\cdot22=68. $$
Задача 1
Вычислить определитель третьего порядка $$ \left| \matrix { 5 & 3 & 2\\ -1 & 2 & 4\\ 7 & 3 & 6 } \right| $$
Решение 1
Разложив определитель по элементам 1-й строки, получим $$ \left| \matrix { 5 & 3 & 2\\ -1 & 2 & 4\\ 7 & 3 & 6 } \right| =5 \left| \matrix { 2 & 4 \\ 3 & 6 } \right| -3 \left| \matrix { -1 & 4 \\ 7 & 6 } \right| +2 \left| \matrix { -1 & 2 \\ 7 & 3 } \right| =5\cdot0-3(-34)+2(-17)=68. $$
Задача 2
Вычислить тот же определитель на основании теоремы о линейной комбинации элементов строк (столбцов).
Решение 2
К элементам 1-й стороки прибавим соответствующие элементы 2-й строки, умноженные на 5, а к элементам 3-й строки – соответствующие элементы 2-й сторки, умноженные на 7: $$ \left| \matrix { 5 & 3 & 2\\ -1 & 2 & 4\\ 7 & 3 & 6 } \right| = \left| \matrix { 0 & 13 & 22\\ -1 & 2 & 4\\ 0 & 17 & 34 } \right| $$ Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получаем $$ \left| \matrix { 0 & 13 & 22\\ -1 & 2 & 4\\ 0 & 17 & 34 } \right| =0 \left| \matrix { 2 & 4 \\ 17 & 34 } \right| +1 \left| \matrix { 13 & 22 \\ 17 & 34 } \right| +0 \left| \matrix { 13 & 22 \\ 2 & 4 } \right| =13\cdot34-17\cdot22=68. $$
