Производные высших порядков
Рассмотрены примеры нахождения производных высших порядков.
Задача 1
\(y=x^5+2x^4-3x^3-x^2-0,5x+7.\) Найти \(y',y'',y''', …\)
Решение 1
\(y'=5x^4+8x^3-9x^2-2x-0,5,\)
\(y''=20x^3+24x^2-18x-2,\)
\(y'''=60x^2+48x-18,\)
\(y^{IV}=120x+48, y^V=120, y^{VI}=y^{VII}=...=0.\)
Задача 2
\(y= \ln x.\) Найти \(y^{(n)}.\)
Решение 2
\(y'=\frac{1}{x}=x^{-1},\)
\(y''=-1 \cdot x^{-2},\)
\(y'''=1 \cdot 2x^{-3},\)
\(y^{IV}=-1 \cdot 2 \cdot 3x^{-4},\)
. . . . . . . .
\(y^{(n)}= 1 \cdot 2 \cdot 3 ...(n-1)(-1)^{n-1} \cdot x^{-n}=(-1)^{n-1} \cdot \frac{(n-1)!}{x^n}.\)
Задача 3
\(x=2^x.\) Найти \(y^{(n)}.\)
Решение 3
\(y'=2^x \ln 2,\)
\(y''=2^x \ln ^2 2,\)
\(y'''=2^x \ln ^3 2,\)
. . . . . . . .
\(y^{(n)}=2^x \ln ^n 2.\)
Задача 4
\(y= \sin x.\) Найти \(y^{(n)}.\)
Решение 4
\(y'= \cos x = \sin \left( x+\frac{\pi}{2} \right),\)
\(y''= -\sin x = \sin \left( x+2 \cdot \frac{\pi}{2} \right),\)
\(y'''= -\cos x = \sin \left( x+3 \cdot \frac{\pi}{2} \right),\)
. . . . . . . .
\(y^{(n)}= \sin \left( x+n \cdot \frac{\pi}{2} \right).\)
Задача 1
\(y=x^5+2x^4-3x^3-x^2-0,5x+7.\) Найти \(y',y'',y''', …\)
Решение 1
\(y'=5x^4+8x^3-9x^2-2x-0,5,\)
\(y''=20x^3+24x^2-18x-2,\)
\(y'''=60x^2+48x-18,\)
\(y^{IV}=120x+48, y^V=120, y^{VI}=y^{VII}=...=0.\)
Задача 2
\(y= \ln x.\) Найти \(y^{(n)}.\)
Решение 2
\(y'=\frac{1}{x}=x^{-1},\)
\(y''=-1 \cdot x^{-2},\)
\(y'''=1 \cdot 2x^{-3},\)
\(y^{IV}=-1 \cdot 2 \cdot 3x^{-4},\)
. . . . . . . .
\(y^{(n)}= 1 \cdot 2 \cdot 3 ...(n-1)(-1)^{n-1} \cdot x^{-n}=(-1)^{n-1} \cdot \frac{(n-1)!}{x^n}.\)
Задача 3
\(x=2^x.\) Найти \(y^{(n)}.\)
Решение 3
\(y'=2^x \ln 2,\)
\(y''=2^x \ln ^2 2,\)
\(y'''=2^x \ln ^3 2,\)
. . . . . . . .
\(y^{(n)}=2^x \ln ^n 2.\)
Задача 4
\(y= \sin x.\) Найти \(y^{(n)}.\)
Решение 4
\(y'= \cos x = \sin \left( x+\frac{\pi}{2} \right),\)
\(y''= -\sin x = \sin \left( x+2 \cdot \frac{\pi}{2} \right),\)
\(y'''= -\cos x = \sin \left( x+3 \cdot \frac{\pi}{2} \right),\)
. . . . . . . .
\(y^{(n)}= \sin \left( x+n \cdot \frac{\pi}{2} \right).\)
