Область определения функции

Рассмотрены примеры нахождения области определения функции.

Задача 1

Найти \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) , если \(f(x)=x^2\) .

Решение 1

Найдем значения данной функции при \(x=a\) и \(x=b\): \(f(a)=a^2, f(b)=b^2.\) Тогда получим $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b.$$

---

Задача 2

Найти область определения функции \(f(x)= \frac{x-2}{2x-1}.\)

Решение 2

Данная функция определена, если \(2x-1\neq 0\), т.е. если \(x\neq 1/2\). Таким образом, областью определения функции является объединение двух интервалов: $$D(f)=]-\infty, 1/2[\cup ] 1/2,+\infty[.$$

---

Задача 3

Найти область определения функции \(f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x-1}\).

Решение 3

Функция определена, если \(x-1\neq 0\) и \(x+1> 0\), т.е. если \(x\neq 1\) и \(x> -1.\) Область определения функции есть объединение двух интервалов: $$D(f)=]-1, 1[\cup ] 1,+\infty[.$$

---

Задача 4

Найти область определения функции $$f(x)=\sqrt{1-2x}+3\arcsin\frac{3x-1}{2}.$$

Решение 4

Первое слагаемое принимает действительные значения при \(1-2x\geq 0\), а второе – при \(-1\leq (3x-1)/2\leq 1.\) Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: $$\cases { 1-2x\geq 0\cr (3x-1)/2\leq 1\cr (3x-1)/2\geq -1}$$ В результате получаем \(x\leq 1/2, x\leq 1, x\geq -1/3.\) Следовательно, область определения функции есть отрезок \([-1/3,1/2].\)