Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба

Рассмотрены примеры нахождения промежутков выпуклости и вогнутости, точки перегиба функций.

Задача 1

Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции \(y=x^5 +5x-6.\)

Решение 1

Имеем \(y'=5x^4+5, y''=20x^3.\) Если \(x<0, \) то \(y''<0\) и кривая выпукла;
если же \(x>0,\) то \(y''>0\) и кривая вогнута. Итак, кривая выпукла в промежутке \(] -\infty, 0[ \) и вогнута в промежутке \(]0, +\infty[. \)

---

Задача 2

Найти экстремумы функции \(y=(x+1)^2(x-2)\) и точки перегиба ее графика.

Решение 2

Найдем первую производную: \(y'=3(x^2-1).\) Корни первой производной: \(x_1=-1, x_2=1.\) Найдем вторую производную: \(y''=6x.\) Вычислим значения второй производной в стационарных точках: \(y''(-1)=-6<0, \) т.е. \(y_{max}=0; y''(1)=6> 0,\) т.е. \(y_{min}=-4.\)
Найдем точку перегиба, для чего вторую производную приравниваем нулю: \(6x=0, \) т.е. \(x=0.\) Слева от точки \(x=0\) имеем \(y''(0+h)<0\) – кривая вогнута; следовательно, точка с абсциссой \(x=0\) является точкой перегиба; \(y_{т.пер}=-2.\)

---

Задача 3

Найти точки перегиба кривой \(y=(x-5)^{5/3}+2.\)

Решение 3

Находим \(y'=\frac{5}{3}(x-5)^{2/3}, y''=\frac{10}{9\sqrt[3]{x-5}}.\) Вторая производная не обращается в нуль не при каких значениях \(x\) и не существует в точке \(x=5.\) Значение \(x=5\) является абсциссой точки перегиба, так как \( y''=(5-h)<0, y''(5+h)>0.\) Таким образом, \((5;2)\) – точка перегиба.