Примеры нахождения производных
Приведены типовые примеры нахождения производной функции с применением формул дифференцирования.
Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:
1) \(y=2x^3-5x^2+7x+4.\) $$y'=(2x^3)'-(5x^2)'+(7x)'+(4)'=2(x^3)'-5(x^2)'+7x'+4'=$$ $$=2 \cdot 3x^2-5\cdot 2x+7\cdot 1+0 = 6x^2-10x+7.$$
2) \(y=x^2e^x.\) $$y'=x^2(e^x)'+e^x \cdot (x^2)'=x^2e^x+2xe^x=xe^x(x+2).$$
3) \(y=x^3 \arctan x.\) $$y'=x^3(\arctan x)'+ \arctan x \cdot (x^3)'=x^3\frac{1}{1+x^2}+3x^2 \arctan x=$$ $$=\frac{x^3}{1+x^2}+3x^2 \arctan x.$$
4) \(y=x\sqrt{x}(3 \ln x-2).\)
Перепишем заданную функцию в виде \(y=x^{3/2}(3 \ln x-2).\) Тогда $$y'=x^{3/2} \cdot \frac{3}{x}+\frac{3}{2}x^{1/2}(3 \ln \cdot x -2) =3x^{1/2}+ \frac{9}{2} x^{1/2} \ln x - 3x^{1/2}=\frac{9}{2}\sqrt{x} \ln x.$$
5) \(y=\frac{ \sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}.\) $$y'=\frac{(\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x)-(\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}=$$ $$=\frac{(\sin x + \cos x)^2+(\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2}=\frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}.$$
Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:
1) \(y=2x^3-5x^2+7x+4.\) $$y'=(2x^3)'-(5x^2)'+(7x)'+(4)'=2(x^3)'-5(x^2)'+7x'+4'=$$ $$=2 \cdot 3x^2-5\cdot 2x+7\cdot 1+0 = 6x^2-10x+7.$$
2) \(y=x^2e^x.\) $$y'=x^2(e^x)'+e^x \cdot (x^2)'=x^2e^x+2xe^x=xe^x(x+2).$$
3) \(y=x^3 \arctan x.\) $$y'=x^3(\arctan x)'+ \arctan x \cdot (x^3)'=x^3\frac{1}{1+x^2}+3x^2 \arctan x=$$ $$=\frac{x^3}{1+x^2}+3x^2 \arctan x.$$
4) \(y=x\sqrt{x}(3 \ln x-2).\)
Перепишем заданную функцию в виде \(y=x^{3/2}(3 \ln x-2).\) Тогда $$y'=x^{3/2} \cdot \frac{3}{x}+\frac{3}{2}x^{1/2}(3 \ln \cdot x -2) =3x^{1/2}+ \frac{9}{2} x^{1/2} \ln x - 3x^{1/2}=\frac{9}{2}\sqrt{x} \ln x.$$
5) \(y=\frac{ \sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}.\) $$y'=\frac{(\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x)-(\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}=$$ $$=\frac{(\sin x + \cos x)^2+(\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2}=\frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}.$$
