Матричный способ решения системы
Приведен пример решения системы уравнений матричным способом. Для решения находится обратная матрица.
Задача
Решить систему уравнений $$ \cases{ 2x+3y+2z=9, \\ x+2y-3z=14,\\ 3x+4y+z=16, } $$ Представив ее в виде матричного уравнения.
Решение
Перепишем систему в виде \(AX=B\), где $$A=\left( \matrix{ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & -3\\ 3 & 4 & 1 }\right), X=\left( \matrix{ x\\ y\\ z }\right), B=\left( \matrix{ 9\\ 14\\ 16 }\right). $$ Решение матричного уравнения имеет вид \(X=A^{-1}B\). Найдем \(A^{-1}\). Имеем $$D_A=\left| \matrix{ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & -3\\ 3 & 4 & 1 }\right|=28-30-4=-6.$$ Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя: $$A_{11}= \left| \matrix { 2 & -3\\ 4 & 1 } \right| =14, A_{21}=- \left| \matrix { 3 & 2\\ 4 & 1 } \right| =5, A_{31}= \left| \matrix { 3 & 2\\ 2 & -3 } \right| =-13, $$ $$A_{12}=- \left| \matrix { 1 & -3\\ 3 & 1 } \right| =-10, A_{22}= \left| \matrix { 2 & 2\\ 3 & 1 } \right| =-4, A_{32}=- \left| \matrix { 2 & 2\\ 1 & -3 } \right| =8, $$ $$A_{13}= \left| \matrix { 1 & 2\\ 3 & 4 } \right| =-2, A_{23}=- \left| \matrix { 2 & 3\\ 3 & 4 } \right| =1, A_{33}= \left| \matrix { 2 & 3\\ 1 & 2 } \right| =1. $$ Таким образом, $$A^{-1}=-\frac{1}{6}\left( \matrix{ 14 & 5 & -13\\ -10 & -4 & 8\\ -2 & 1 & 1 }\right),$$ откуда $$X=-\frac{1}{6}\left( \matrix{ 14 & 5 & -13\\ -10 & -4 & 8\\ -2 & 1 & 1 }\right) \left( \matrix{ 9\\ 14\\ 16 }\right) = -\frac{1}{6} \left( \matrix{ 126+70-208\\ -90-56+128\\ 18+14+16 }\right) = -\frac{1}{6} \left( \matrix{ -12\\ -18\\ 12 }\right) = \left( \matrix{ 2\\ 3\\ -2 }\right). $$ Следовательно, \(x-2, y=3, z=-2\).
Задача
Решить систему уравнений $$ \cases{ 2x+3y+2z=9, \\ x+2y-3z=14,\\ 3x+4y+z=16, } $$ Представив ее в виде матричного уравнения.
Решение
Перепишем систему в виде \(AX=B\), где $$A=\left( \matrix{ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & -3\\ 3 & 4 & 1 }\right), X=\left( \matrix{ x\\ y\\ z }\right), B=\left( \matrix{ 9\\ 14\\ 16 }\right). $$ Решение матричного уравнения имеет вид \(X=A^{-1}B\). Найдем \(A^{-1}\). Имеем $$D_A=\left| \matrix{ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & -3\\ 3 & 4 & 1 }\right|=28-30-4=-6.$$ Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя: $$A_{11}= \left| \matrix { 2 & -3\\ 4 & 1 } \right| =14, A_{21}=- \left| \matrix { 3 & 2\\ 4 & 1 } \right| =5, A_{31}= \left| \matrix { 3 & 2\\ 2 & -3 } \right| =-13, $$ $$A_{12}=- \left| \matrix { 1 & -3\\ 3 & 1 } \right| =-10, A_{22}= \left| \matrix { 2 & 2\\ 3 & 1 } \right| =-4, A_{32}=- \left| \matrix { 2 & 2\\ 1 & -3 } \right| =8, $$ $$A_{13}= \left| \matrix { 1 & 2\\ 3 & 4 } \right| =-2, A_{23}=- \left| \matrix { 2 & 3\\ 3 & 4 } \right| =1, A_{33}= \left| \matrix { 2 & 3\\ 1 & 2 } \right| =1. $$ Таким образом, $$A^{-1}=-\frac{1}{6}\left( \matrix{ 14 & 5 & -13\\ -10 & -4 & 8\\ -2 & 1 & 1 }\right),$$ откуда $$X=-\frac{1}{6}\left( \matrix{ 14 & 5 & -13\\ -10 & -4 & 8\\ -2 & 1 & 1 }\right) \left( \matrix{ 9\\ 14\\ 16 }\right) = -\frac{1}{6} \left( \matrix{ 126+70-208\\ -90-56+128\\ 18+14+16 }\right) = -\frac{1}{6} \left( \matrix{ -12\\ -18\\ 12 }\right) = \left( \matrix{ 2\\ 3\\ -2 }\right). $$ Следовательно, \(x-2, y=3, z=-2\).
