Симметричные окружности
Задача
Найти уравнение окружности, симметричной с окружностью \(x^2+y^2=2x+2y-4\) относительно прямой \(x-y-3=0\).
Решение
Приведем уравнение данной окружности к каноническому виду \((x-1)^2+(y-2)^2=1\); центр окружности находится в точке \(C(1;2)\) и ее радиус равен \(1\). Найдем координаты центра \(C_1(x_1;y_1)\) симметричной окружности, для чего через точку \(C(1;2)\) проведем прямую, перпендикулярную прямой \(x-y-3=0\); ее уравнение \(y-2=k(x-1)\), где \(k=-1/1=-1\), откуда \(y-2=-x+1\), или \(x+y-3=0\). Решая совместно уравнения \(x-y-3=0\) и \(x+y-3=0\), получим \(x=3\), \(y=0\), т.е. проекция точки \(C(1;2)\) на данную прямую – точка \(P(3;0)\). Координаты же симметричной точки получим по формулам координат середины отрезка: \(3=(1+x_1)/2\),\(0=(2+y_1)/2;\); таким образом, \(x_1=5, y_1=-2\). Значит точка \(C_1(5;-2)\) - центр окружности, а уравнение окружности имеет вид \((x-5^2)+(y+2)^2=1\).
Найти уравнение окружности, симметричной с окружностью \(x^2+y^2=2x+2y-4\) относительно прямой \(x-y-3=0\).
Решение
Приведем уравнение данной окружности к каноническому виду \((x-1)^2+(y-2)^2=1\); центр окружности находится в точке \(C(1;2)\) и ее радиус равен \(1\). Найдем координаты центра \(C_1(x_1;y_1)\) симметричной окружности, для чего через точку \(C(1;2)\) проведем прямую, перпендикулярную прямой \(x-y-3=0\); ее уравнение \(y-2=k(x-1)\), где \(k=-1/1=-1\), откуда \(y-2=-x+1\), или \(x+y-3=0\). Решая совместно уравнения \(x-y-3=0\) и \(x+y-3=0\), получим \(x=3\), \(y=0\), т.е. проекция точки \(C(1;2)\) на данную прямую – точка \(P(3;0)\). Координаты же симметричной точки получим по формулам координат середины отрезка: \(3=(1+x_1)/2\),\(0=(2+y_1)/2;\); таким образом, \(x_1=5, y_1=-2\). Значит точка \(C_1(5;-2)\) - центр окружности, а уравнение окружности имеет вид \((x-5^2)+(y+2)^2=1\).
