Операции с матрицами
Приведены примеры операций над матрицами: сложение матриц, умножение, возведение в степень.
Задача 1
Найти сумму матриц $$A= \left( \matrix { 3 & 5 & 7\\ 2 & -1 & 0\\ 4 & 3 & 2 } \right) B= \left( \matrix { 1 & 2 & 4\\ 2 & 3 & -2\\ -1 & 0 & 1 } \right). $$
Решение 1
$$ A+B= \left( \matrix { 3+1 & 5+2 & 7+4\\ 2+2 & -1+3 & 0-2\\ 4-1 & 3+0 & 2+1 } \right)= \left( \matrix { 4 & 7 & 11\\ 4 & 2 & -2\\ 3 & 3& 3 } \right). $$
Задача 2
Найти матрицу \(2A+5B\), если $$A=\left( \matrix { 3 & 5\\ 4 & 1 } \right), B=\left( \matrix { 2 & 3\\ 1 & -2 } \right). $$
Решение 2
$$2A=\left( \matrix { 6 & 10\\ 8 & 2 } \right), 5B=\left( \matrix { 10 & 15\\ 5 & -10 } \right), 2A+5B=\left( \matrix { 16 & 25\\ 13 & -8 } \right). $$
Задача 3
Найти произведение матриц \(AB\) и \(BA\), если $$A=\left( \matrix { 1 &3 & 1\\ 2 &0 & 4\\ 1& 2 & 3 } \right), B=\left( \matrix { 2 & 1& 0\\ 1 & -1& 2\\ 3& 2& 1 } \right). $$
Решение 3
$$ AB=\left( \matrix { 1 \cdot 2+3 \cdot 1+1 \cdot 3& 1 \cdot 1+3(-1)+1 \cdot 2& 1 \cdot 0+3 \cdot 2+1 \cdot 1\\ 2 \cdot 2+0 \cdot 1+4 \cdot 3 & 2 \cdot 1+0(-1)+4 \cdot 2& 2 \cdot 0+0 \cdot 2+4 \cdot 1\\ 1 \cdot 2+2 \cdot 1+3 \cdot 3 & 1 \cdot 1+2(-1)+3 \cdot 2& 1 \cdot0+2 \cdot 2+3 \cdot 1 } \right) =\left( \matrix { 8 & 0& 7\\ 16 & 10& 4\\ 13& 5& 7 } \right), $$ $$ BA=\left( \matrix { 2 \cdot 1+1 \cdot 2+0 \cdot 1& 2 \cdot 3+1 \cdot 0+0 \cdot 2& 2 \cdot 1+1 \cdot 4+0 \cdot 3\\ 1 \cdot 1-1 \cdot 2+2 \cdot 1 & 1 \cdot 3-1 \cdot 0+2 \cdot 2& 1 \cdot 1-1 \cdot 4+2 \cdot 3\\ 3 \cdot 1+2 \cdot 2+1 \cdot 1 & 3 \cdot 3+2 \cdot 0+1 \cdot 2& 3 \cdot 1+2 \cdot 4+1 \cdot 3 } \right) =\left( \matrix { 4 & 6& 6\\ 1 & 7& 3\\ 8& 11& 14 } \right). $$
Задача 4
Найти \(A^3\), если \(A=\left( \matrix { 3 & 2\\ 1 & 4 } \right). \)
Решение 4
$$A^2=\left( \matrix { 3 & 2\\ 1 & 4 } \right) \left( \matrix { 3 & 2\\ 1 & 4 } \right)= \left( \matrix { 9+2 & 6+8\\ 3+4 & 2+16 } \right)= \left( \matrix { 11 & 14\\ 7 & 18 } \right), $$ $$A^3=A^2 \cdot A=\left( \matrix { 11 & 14\\ 7 & 18 } \right) \left( \matrix { 3 & 2\\ 1 & 4 } \right)= \left( \matrix { 33+14 & 22+56\\ 21+18 & 14+72 } \right) = \left( \matrix { 47 & 78\\ 39 & 86 } \right). $$
Задача 1
Найти сумму матриц $$A= \left( \matrix { 3 & 5 & 7\\ 2 & -1 & 0\\ 4 & 3 & 2 } \right) B= \left( \matrix { 1 & 2 & 4\\ 2 & 3 & -2\\ -1 & 0 & 1 } \right). $$
Решение 1
$$ A+B= \left( \matrix { 3+1 & 5+2 & 7+4\\ 2+2 & -1+3 & 0-2\\ 4-1 & 3+0 & 2+1 } \right)= \left( \matrix { 4 & 7 & 11\\ 4 & 2 & -2\\ 3 & 3& 3 } \right). $$
Задача 2
Найти матрицу \(2A+5B\), если $$A=\left( \matrix { 3 & 5\\ 4 & 1 } \right), B=\left( \matrix { 2 & 3\\ 1 & -2 } \right). $$
Решение 2
$$2A=\left( \matrix { 6 & 10\\ 8 & 2 } \right), 5B=\left( \matrix { 10 & 15\\ 5 & -10 } \right), 2A+5B=\left( \matrix { 16 & 25\\ 13 & -8 } \right). $$
Задача 3
Найти произведение матриц \(AB\) и \(BA\), если $$A=\left( \matrix { 1 &3 & 1\\ 2 &0 & 4\\ 1& 2 & 3 } \right), B=\left( \matrix { 2 & 1& 0\\ 1 & -1& 2\\ 3& 2& 1 } \right). $$
Решение 3
$$ AB=\left( \matrix { 1 \cdot 2+3 \cdot 1+1 \cdot 3& 1 \cdot 1+3(-1)+1 \cdot 2& 1 \cdot 0+3 \cdot 2+1 \cdot 1\\ 2 \cdot 2+0 \cdot 1+4 \cdot 3 & 2 \cdot 1+0(-1)+4 \cdot 2& 2 \cdot 0+0 \cdot 2+4 \cdot 1\\ 1 \cdot 2+2 \cdot 1+3 \cdot 3 & 1 \cdot 1+2(-1)+3 \cdot 2& 1 \cdot0+2 \cdot 2+3 \cdot 1 } \right) =\left( \matrix { 8 & 0& 7\\ 16 & 10& 4\\ 13& 5& 7 } \right), $$ $$ BA=\left( \matrix { 2 \cdot 1+1 \cdot 2+0 \cdot 1& 2 \cdot 3+1 \cdot 0+0 \cdot 2& 2 \cdot 1+1 \cdot 4+0 \cdot 3\\ 1 \cdot 1-1 \cdot 2+2 \cdot 1 & 1 \cdot 3-1 \cdot 0+2 \cdot 2& 1 \cdot 1-1 \cdot 4+2 \cdot 3\\ 3 \cdot 1+2 \cdot 2+1 \cdot 1 & 3 \cdot 3+2 \cdot 0+1 \cdot 2& 3 \cdot 1+2 \cdot 4+1 \cdot 3 } \right) =\left( \matrix { 4 & 6& 6\\ 1 & 7& 3\\ 8& 11& 14 } \right). $$
Задача 4
Найти \(A^3\), если \(A=\left( \matrix { 3 & 2\\ 1 & 4 } \right). \)
Решение 4
$$A^2=\left( \matrix { 3 & 2\\ 1 & 4 } \right) \left( \matrix { 3 & 2\\ 1 & 4 } \right)= \left( \matrix { 9+2 & 6+8\\ 3+4 & 2+16 } \right)= \left( \matrix { 11 & 14\\ 7 & 18 } \right), $$ $$A^3=A^2 \cdot A=\left( \matrix { 11 & 14\\ 7 & 18 } \right) \left( \matrix { 3 & 2\\ 1 & 4 } \right)= \left( \matrix { 33+14 & 22+56\\ 21+18 & 14+72 } \right) = \left( \matrix { 47 & 78\\ 39 & 86 } \right). $$
