Множество значений функции
Задача
Найти множества значений функций:
1) \(f(x)=x^2-6x+5;\)
2) \(f(x)=2+3\sin x.\)
Решение
1) Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, получим \(f(x)=x^2-6x+9-4=(x-3)^2-4.\) Первое слагаемое при всех \(x\) является неотрецательным числом, поэтому функция принимает значения, не меньше \(-4.\) Итак, множество значений функции – бесконечный промежуток \([-4,+\infty [.\)
2) Так как синус принимает значения, непревосходящие по модулю единицы, то получаем неравенство \(| \sin x|\leq 1\), или \(-1\leq \sin x \leq 1.\) Умножив все части этого двойного неравенства на 3 и прибавляя к ним по 2, имеем \(-3 \leq 3 \sin x \leq 3; -1\leq 2+3 \sin x \leq 5.\) Следовательно, \(E(f)=[-1,5].\)
Найти множества значений функций:
1) \(f(x)=x^2-6x+5;\)
2) \(f(x)=2+3\sin x.\)
Решение
1) Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, получим \(f(x)=x^2-6x+9-4=(x-3)^2-4.\) Первое слагаемое при всех \(x\) является неотрецательным числом, поэтому функция принимает значения, не меньше \(-4.\) Итак, множество значений функции – бесконечный промежуток \([-4,+\infty [.\)
2) Так как синус принимает значения, непревосходящие по модулю единицы, то получаем неравенство \(| \sin x|\leq 1\), или \(-1\leq \sin x \leq 1.\) Умножив все части этого двойного неравенства на 3 и прибавляя к ним по 2, имеем \(-3 \leq 3 \sin x \leq 3; -1\leq 2+3 \sin x \leq 5.\) Следовательно, \(E(f)=[-1,5].\)
