Производная по определению
Приведен пример нахождения производной функции на основе определения производной - через предел приращения.
Задача
Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции \(y=2x^3+5x^2-7x-4.\)
Решение
Дадим \( x \) приращение \(\Delta x,\) тогда \(y\) получит приращение \(\Delta y:\) $$y+\Delta y=2(x+\Delta x)^3+5(x+\Delta x)^2-7(x+\Delta x)-4.$$ Найдем приращение функции: $$\Delta y=[2(x+\Delta x)^3+5(x+\Delta x)^2-7(x+\Delta x)-4]-(2x^3+5x^2-7x-4)=$$ $$=6x^2\Delta x+6x\Delta x^2+2\Delta x^3+10x\Delta x+5\Delta x^2-7\Delta x.$$ Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента: $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=6x^2+6x\Delta x+2\Delta x^2+10x+5\Delta x-7.$$ Найдем предел этого отношения при \(\Delta x\rightarrow 0:\) $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(6x^2+6x\Delta x+2\Delta x^2+10x+5\Delta x-7)=6x^2+10x-7.$$ Следовательно, по определению производной \(y'=6x^2+10x-7.\)
Задача
Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции \(y=2x^3+5x^2-7x-4.\)
Решение
Дадим \( x \) приращение \(\Delta x,\) тогда \(y\) получит приращение \(\Delta y:\) $$y+\Delta y=2(x+\Delta x)^3+5(x+\Delta x)^2-7(x+\Delta x)-4.$$ Найдем приращение функции: $$\Delta y=[2(x+\Delta x)^3+5(x+\Delta x)^2-7(x+\Delta x)-4]-(2x^3+5x^2-7x-4)=$$ $$=6x^2\Delta x+6x\Delta x^2+2\Delta x^3+10x\Delta x+5\Delta x^2-7\Delta x.$$ Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента: $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=6x^2+6x\Delta x+2\Delta x^2+10x+5\Delta x-7.$$ Найдем предел этого отношения при \(\Delta x\rightarrow 0:\) $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(6x^2+6x\Delta x+2\Delta x^2+10x+5\Delta x-7)=6x^2+10x-7.$$ Следовательно, по определению производной \(y'=6x^2+10x-7.\)
