Полный дифференциал
Рассмотрены примеры нахождения полного дифференциала функций.
Задача 1
\(z= \arctan \frac{x+y}{x-y}.\) Найти \(dz.\)
Решение 1
Найдем частные производные: $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac{x+y}{x-y} \right)^2} \cdot \frac{-2y}{(x-y)^2}=-\frac{y}{x^2+y^2},$$ $$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+\left(\frac{x+y}{x-y} \right)^2} \cdot \frac{2x}{(x-y)^2}=\frac{x}{x^2+y^2}.$$ Следовательно, \(d z=\frac{\partial z}{\partial x}d z+\frac{\partial z}{\partial y}d y=\frac{x dy - y dx}{x^2+y^2}.\)
Задача 2
\(u= x^{y^2z}.\) Найти \(du.\)
Решение 2
Имеем \(d u=\frac{\partial u}{\partial x}d x+\frac{\partial u}{\partial y}d y+\frac{\partial u}{\partial z}d z,\) где $$\frac{\partial u}{\partial x}=y^2z \cdot x^{y^2z-1}, \frac{\partial u}{\partial y}=x^{y^2z} \cdot \ln x \cdot 2yz, \frac{\partial u}{\partial z}=x^{y^2z} \cdot \ln x \cdot y^2.$$ Следовательно, $$du=y^2zx^{y^2z-1}dx+2yz \cdot x^{y^2z} \cdot \ln x dy + y^2x^{y^2z} \cdot \ln x dz.$$
Задача 1
\(z= \arctan \frac{x+y}{x-y}.\) Найти \(dz.\)
Решение 1
Найдем частные производные: $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac{x+y}{x-y} \right)^2} \cdot \frac{-2y}{(x-y)^2}=-\frac{y}{x^2+y^2},$$ $$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+\left(\frac{x+y}{x-y} \right)^2} \cdot \frac{2x}{(x-y)^2}=\frac{x}{x^2+y^2}.$$ Следовательно, \(d z=\frac{\partial z}{\partial x}d z+\frac{\partial z}{\partial y}d y=\frac{x dy - y dx}{x^2+y^2}.\)
Задача 2
\(u= x^{y^2z}.\) Найти \(du.\)
Решение 2
Имеем \(d u=\frac{\partial u}{\partial x}d x+\frac{\partial u}{\partial y}d y+\frac{\partial u}{\partial z}d z,\) где $$\frac{\partial u}{\partial x}=y^2z \cdot x^{y^2z-1}, \frac{\partial u}{\partial y}=x^{y^2z} \cdot \ln x \cdot 2yz, \frac{\partial u}{\partial z}=x^{y^2z} \cdot \ln x \cdot y^2.$$ Следовательно, $$du=y^2zx^{y^2z-1}dx+2yz \cdot x^{y^2z} \cdot \ln x dy + y^2x^{y^2z} \cdot \ln x dz.$$
