Обратная матрица
Задача
Дана матрица \(A= \left( \matrix { 3 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 1\\ 5 & 3 & 4 } \right). \) Найти обратную матрицу.
Решение
Вычисляем определитель матрицы \(A\): $$D_A= \left| \matrix { 3 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 1\\ 5 & 3 & 4 } \right| =27+2-24=5. $$ Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя: $$A_{11}= \left| \matrix { 3 & 1\\ 3 & 4 } \right| =9, A_{21}=- \left| \matrix { 2 & 2\\ 3 & 4 } \right| =-2, A_{31}= \left| \matrix { 2 & 2\\ 3 & 1 } \right| =-4, $$ $$A_{12}=- \left| \matrix { 1 & 1\\ 5 & 4 } \right| =1, A_{22}= \left| \matrix { 3 & 2\\ 5 & 4 } \right| =2, A_{32}=- \left| \matrix { 3 & 2\\ 1 & 1 } \right| =-1, $$ $$A_{13}= \left| \matrix { 1 & 3\\ 5 & 3 } \right| =-12, A_{23}=- \left| \matrix { 3 & 2\\ 5 & 3 } \right| =1, A_{33}= \left| \matrix { 3 & 2\\ 1 & 3 } \right| =7. $$ Следовательно, $$A^{-1}= \left( \matrix { 9/5 & -2/5 & -4/5\\ 1/5 & 2/5 & -1/5\\ -12/5 & 1/5 & 7/5 } \right). $$
Дана матрица \(A= \left( \matrix { 3 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 1\\ 5 & 3 & 4 } \right). \) Найти обратную матрицу.
Решение
Вычисляем определитель матрицы \(A\): $$D_A= \left| \matrix { 3 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 1\\ 5 & 3 & 4 } \right| =27+2-24=5. $$ Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя: $$A_{11}= \left| \matrix { 3 & 1\\ 3 & 4 } \right| =9, A_{21}=- \left| \matrix { 2 & 2\\ 3 & 4 } \right| =-2, A_{31}= \left| \matrix { 2 & 2\\ 3 & 1 } \right| =-4, $$ $$A_{12}=- \left| \matrix { 1 & 1\\ 5 & 4 } \right| =1, A_{22}= \left| \matrix { 3 & 2\\ 5 & 4 } \right| =2, A_{32}=- \left| \matrix { 3 & 2\\ 1 & 1 } \right| =-1, $$ $$A_{13}= \left| \matrix { 1 & 3\\ 5 & 3 } \right| =-12, A_{23}=- \left| \matrix { 3 & 2\\ 5 & 3 } \right| =1, A_{33}= \left| \matrix { 3 & 2\\ 1 & 3 } \right| =7. $$ Следовательно, $$A^{-1}= \left( \matrix { 9/5 & -2/5 & -4/5\\ 1/5 & 2/5 & -1/5\\ -12/5 & 1/5 & 7/5 } \right). $$
