Многочлен Лагранжа
Приведен пример составления многочлена Лагранжа для интерполирования.
Задача
Составить многочлен Лагранжа для следующей таблицы значений: $$\matrix{ x=& 1& 2& 3& 4 \\ y=& 2& 3& 4& 5 }$$
Решение
Вспомогательный многочлен имеет вид
\( \phi (x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4).\)
Вычислим \( \phi (x)\) последовательно при данных значениях \(x:\) $$\phi '(x)= (x-2)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-2)(x-4)+$$ $$+(x-1)(x-2)(x-3); \phi '(1)=-6, \phi '(2)= 2, \phi '(3)=-2,\phi '(4)=6.$$ $$f(x)= \frac{2}{-6}(x-2)(x-3)(x-4)+\frac{3}{2}(x-1)(x-3)(x-4)+$$ $$+\frac{4}{-2}(x-1)(x-2)(x-4)+\frac{5}{6}(x-1)(x-2)(x-3)=x+1.$$ Таким образом, в данном случае интерполяционный многочлен есть линейная функция \(f(x)=x+1.\)
Задача
Составить многочлен Лагранжа для следующей таблицы значений: $$\matrix{ x=& 1& 2& 3& 4 \\ y=& 2& 3& 4& 5 }$$
Решение
Вспомогательный многочлен имеет вид
Вычислим \( \phi (x)\) последовательно при данных значениях \(x:\) $$\phi '(x)= (x-2)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-2)(x-4)+$$ $$+(x-1)(x-2)(x-3); \phi '(1)=-6, \phi '(2)= 2, \phi '(3)=-2,\phi '(4)=6.$$ $$f(x)= \frac{2}{-6}(x-2)(x-3)(x-4)+\frac{3}{2}(x-1)(x-3)(x-4)+$$ $$+\frac{4}{-2}(x-1)(x-2)(x-4)+\frac{5}{6}(x-1)(x-2)(x-3)=x+1.$$ Таким образом, в данном случае интерполяционный многочлен есть линейная функция \(f(x)=x+1.\)
