Метод Гаусса
Рассмотрено решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Задача
Решить систему уравнений $$ \cases{ 3x+2y+z=5, \\ x+y-z=0, \\ 4x-y+5z=3. } $$
Решение
Преобразуем матрицу в эквивалентную: $$\left( \matrix{ 3 & 2 & 1&|&5&|&11\\ 1 & 1 & -1&|&0&|&1\\ 4 & -1 & 5&|&3&|&11 }\right) \sim \left( \matrix{ 1 & 1 & -1&|&0&|&1\\ 3 & 2 & 1&|&5&|&11\\ 4 & -1 & 5&|&3&|&11 }\right)$$ (для упрощения вычислений мы поменяли местами первое и второе уравнения). Вычитаем из остальных двух строк 1-ю строку, умноженную на 3 и на 4: $$\left( \matrix{ 1 & 1 & -1&|&0&|&1\\ 0 & -1 & 4&|&5&|&8\\ 0 & -5 & 9&|&3&|&7 }\right).$$ Изменив знаки во 2-й строке и умножив ее на 5, прибавляем к 3-й: $$\left( \matrix{ 1 & 1 & -1&|&0&|&1\\ 1 & 1 & -4&|&-5&|&-8\\ 0 & 0 & -11&|&-22&|&-33 }\right) \sim \left( \matrix{ 1 & 1 & -1&|&0&|&1\\ 0 & 1 & -4&|&-5&|&-8\\ 0 & 0 & 1&|&2&|&3 }\right)$$ (мы разделили на -11 последнюю строку). Система уравнений приняла треугольный вид: $$ \cases{ x+y-z=0, \\ y-4z=-5, \\ z=2. } $$ Она имеет единственное решение. Из последнего уравнения имеем \(z=2\); подставляя это значение во второе уравнение, получаем \(y=3\) и, наконец, из первого уравнения находим \(x=-1\).
Задача
Решить систему уравнений $$ \cases{ 3x+2y+z=5, \\ x+y-z=0, \\ 4x-y+5z=3. } $$
Решение
Преобразуем матрицу в эквивалентную: $$\left( \matrix{ 3 & 2 & 1&|&5&|&11\\ 1 & 1 & -1&|&0&|&1\\ 4 & -1 & 5&|&3&|&11 }\right) \sim \left( \matrix{ 1 & 1 & -1&|&0&|&1\\ 3 & 2 & 1&|&5&|&11\\ 4 & -1 & 5&|&3&|&11 }\right)$$ (для упрощения вычислений мы поменяли местами первое и второе уравнения). Вычитаем из остальных двух строк 1-ю строку, умноженную на 3 и на 4: $$\left( \matrix{ 1 & 1 & -1&|&0&|&1\\ 0 & -1 & 4&|&5&|&8\\ 0 & -5 & 9&|&3&|&7 }\right).$$ Изменив знаки во 2-й строке и умножив ее на 5, прибавляем к 3-й: $$\left( \matrix{ 1 & 1 & -1&|&0&|&1\\ 1 & 1 & -4&|&-5&|&-8\\ 0 & 0 & -11&|&-22&|&-33 }\right) \sim \left( \matrix{ 1 & 1 & -1&|&0&|&1\\ 0 & 1 & -4&|&-5&|&-8\\ 0 & 0 & 1&|&2&|&3 }\right)$$ (мы разделили на -11 последнюю строку). Система уравнений приняла треугольный вид: $$ \cases{ x+y-z=0, \\ y-4z=-5, \\ z=2. } $$ Она имеет единственное решение. Из последнего уравнения имеем \(z=2\); подставляя это значение во второе уравнение, получаем \(y=3\) и, наконец, из первого уравнения находим \(x=-1\).
