Экстремум функции двух переменных
Рассмотрен пример нахождения экстремума функции двух независимых переменных.
Задача
Найти экстремум функции \(z=x^2+xy+y^2-3x-6y.\)
Решение
Находим частные производные первого порядка: \(\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y-3,\) \(\frac{\partial z}{\partial y}=x+2y-6.\) Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки: $$\cases { 2x+y-3=0,\cr x+2y-6=0,}$$ откуда \(x=0, y=3; M(0;3).\)
Находим значения частных производных второго порядка в точке \(M:\) $$\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=2,\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=2,\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=1$$ и составляем дискриминант \( \Delta= AC-B^2=2 \cdot 2-1=3>0; A>0. \) Следовательно, в точке \(M(0;3)\) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке \(z_{min}=-9.\)
Задача
Найти экстремум функции \(z=x^2+xy+y^2-3x-6y.\)
Решение
Находим частные производные первого порядка: \(\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y-3,\) \(\frac{\partial z}{\partial y}=x+2y-6.\) Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки: $$\cases { 2x+y-3=0,\cr x+2y-6=0,}$$ откуда \(x=0, y=3; M(0;3).\)
Находим значения частных производных второго порядка в точке \(M:\) $$\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=2,\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=2,\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=1$$ и составляем дискриминант \( \Delta= AC-B^2=2 \cdot 2-1=3>0; A>0. \) Следовательно, в точке \(M(0;3)\) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке \(z_{min}=-9.\)
