В теории вероятностей и теории множеств используют графические диаграммы Венна, которые позволяют изображать основные операции с множествами или событиями. Выделяют четыре основные операции: сложение множеств или событий, умножение, вычитание и отрицание. На рисунке справа приведены графические диаграммы для перечисленных операций. На картинках штриховкой отмечен результат операции. Событие в теории вероятностей можно представлять как множество. Приведем основные определения для событий и операций над ними.
Определение 1. События А и В называются равными, если наступление события А влечет за собой наступление события В и наоборот. Обозначение: \(A=B\).
Определение 2. Суммой событий А и В называется событие \(A+B\), состоящее в том, что в опыте произойдет хотя бы одно из этих событий.
Определение 3. Произведением событий А и В называется событие \(AB\), состоящее в одновременном появлении этих событий.
Определение 4. Разностью событий А и В называется событие А\В, состоящее в том, что событие А произойдет, а событие В – не произойдет.
Определение 5. Событие называется противоположным событию А, если оно заключается в не появлении события А. Обозначение противоположного события: \(\overline{A}\)
На основе этих определений можно получить основные тождества, так называемой алгебры Буля или булевой алгебры. Это соотношения для множеств или событий. Большинство из них легко понимаются и похожи на обычные свойства операций. На рисунке справа (кликнуть для увеличения) приведены 18 наиболее часто используемых равенств. Эти равенства используют для доказательства равенств, задающих сложные события или множества. Вы можете скачать этот справочник по ссылке внизу этой страницы. Файл в формате *.doc и его можно распечатать в текстовом редакторе Word. Приведем пример для решения которого будут использованы эти тождества.
Пример. Доказать что \(A+AB+BC+\overline{A}C=A+C\).
Решение. Пользуясь формулами операций над множествами (тождества булевой алгебры), получим последовательно из левой части равенства правую. В фигурных скобках будем записывать номер использованной формулы (смотрите номера формул на картинке вверху):
$$A+AB+BC+\overline{A}C=\left\{5 \right\}=\left(A+\overline{A}C \right)+\left(AB+BC \right)=\left\{7 \right\}=$$
$$=\left(A+\overline{A}C \right)+B\left(A+C \right)=\left\{17 \right\}=\left(A+\overline A \right)\left(A+C \right)+B\left(A+C \right)=\left\{11 \right\}=$$
$$=\Omega\left(A+C \right)+B\left(A+C \right) =\left\{7 \right\}=\left(\Omega+B \right)\left(A+C \right)=\left\{8 \right\}=$$
$$=\Omega\left(A+C \right)=\left\{10 \right\}=A+C$$
Таким образом, из левой части последовательно получили правую часть. Значит равенство верное. Это строгое доказательство (аналитическое), так как для преобразований были использованы тождества алгебры Буля. Пример графического решения этого примера с помощью диаграмм Венна приведен на рисунке внизу. Последовательно построены диаграммы для разных фрагментов выражения и показано (последняя картинка), что выражение левой части равно правой: \(A+C\).
Не всегда удается получить строгое доказательство. А если равенство не верное, то найти решение еще труднее, так как проводя преобразования надо равенство привести к явно противоречивому. Если найти решение не удается, то можно попробовать графический метод решения. Графический метод с использованием диаграмм Венна проще, но он не является строгим или полным решением в том случае, если равенство справедливо. Это объясняется тем, что вам надо будет рассмотреть все возможные расположения графических диаграмм, изображающих события или множества. Это очень громоздко, так как вариантов может быть очень много. Но графические диаграммы дают однозначный ответ в том случае, когда равенство не справедливо. Действительно, если удалось найти хотя бы один пример (контрпример), когда равенство не верное, значит оно точно не выполняется. Но диаграммы Венна могут помочь найти аналитическое решение, после того как построено графическое.
